పదవ తరగతి గణితం - వాస్తవ సంఖ్యలు

పరిచయం:

కరణీయ సంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలు కలసి ఉన్న సమూహాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.
వాస్తవ సంఖ్య ల సమితి క్రింద చూపిన విధంగా ఉంటుంది.

మరి అకరణీయ సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి?

అకరణీయసంఖ్యలు 

అకరణీయ సంఖ్యలను p/q రూపంలో వ్రాయగలిగే సంఖ్యలు ఇందు p ,q లు పూర్ణ సంఖ్యలు

q≠0

ఇవి పూర్ణ సంఖ్య ల సమూహం కన్నా పెద్దది.

అన్ని అకరణీయ సంఖ్యలను అంతమయ్యే దశాంశాలు లేదా అంతం కాని దశాంశాలు గా వ్రాయవచ్చు.

ఉదాహరణ కి 1,2,3 లు అకరణీయ సంఖ్యలు వీనిని 2/1, 3/1, 4/1 రూపంలో వ్రాయగలం.

అలాగే 6.25, 6.45 లను 625/100, 645/100 (p/q)  రూపంలో వ్రాయ గలం.

ఆవర్తన దశాంశాలయిన ఈ క్రింది సంఖ్యలను కూడా p/q రూపంలో వ్రాయ గలం. కనుక ఇవి అకరణీయ సంఖ్యలు.

3.3333333....  , 7.127127127........... ,
Example:

1.5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య ఎందుచేత ?
 1.5 = 3/2 (1.5 ని భిన్న రూపంలో వ్రాయగలిగాం )

ఇంకా కొన్ని ఉదాహరణలు

సంఖ్య	p/q రూపంలో	అకరణీయ సంఖ్య ?
5	5/1	అవును
1.75	7/4	అవును
.001	1/1000	అవును
0.111...	1/9	అవును
√2 (square root of 2 రెండు యొక్క వర్గ మూలం)	?	కాదు  !

చివరి సంఖ్య ను మనం  p/q రూపంలో రాయలేక పోతున్నాం ఇలాంటి సంఖ్యలు మన సంఖ్యా వ్యవస్థ లో ఇంకా ఉన్నాయి, అలాంటి సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటాము. ఉదాహరణకి, √5,√7,√6  
ఇంకా ఈ జాబితాలోకి వచ్చే సంఖ్యలు మరి కొన్ని Pi (π).
Pi (π) = వృత్త పరిధి / వ్యాసము  అని మనకి తెలుసు.

Pi (π) =వృత్త పరిధి / వ్యాసము

కరణీయసంఖ్యలు 

మరి ఈ కరణీయ సంఖ్యలు అంటే ఏమిటో చూద్దాం:

ఏ సంఖ్యలను p/q రూపంలో రాయలేక పోతున్నామో ఆ సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. 

Examples:

ఉదాహరణ   √5,√7,√6  
ఇంకా ఈ జాబితాలోకి వచ్చే సంఖ్యలు మరి కొన్ని Pi (π), e (Euler's Number), Golden Ratio,
Pi (π)

π = 3.1415926535897932384626433832795 (ఇంకా....... ) Pi. విలువను మనం భిన్న రూపంలో వ్రాయలేము

 Pi.=²²/₇ = 3.1428571428571... అని మనం తీసుకొనే విలువ కొంత దగ్గరి విలువ అది ఖచ్చితం కాదు.

కొన్ని గుర్తుంచుకోవలసిన కరణీయ సంఖ్యలు : 

	Pi విలువ ఒక కరణీయ సంఖ్య దీని విలువ లో ఆవర్తన దశాంశాలు ఇప్పటి వరకు కనుగొనబడలేదు. 3.1415926535897932384626433832795 (and more ...)
	e (Euler's Number) అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య దీని విలువ లో ఆవర్తన దశాంశాలు ఇప్పటి వరకు కనుగొనబడలేదు. e = 2.7182818284590452353602874713527 (and more ...)
	Golden Ratio అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య దీని విలువ= 1.61803398874989484820... (and more ...)
	అనేక సంఖ్యల వర్గ మూలాలు, ఘన మూలాలు, మూలాలు కరణీయ సంఖ్యలవుతాయి : √3 1.7320508075688772935274463415059 (etc) √99 9.9498743710661995473447982100121 (etc) కాని అన్ని సంఖ్యల మూలాలు కరణీయ సంఖ్యలు కావు. ఖచ్చిత మూలం లేనివి మాత్రమే కరణీయ సంఖ్యలు
ఉదాహరణకి √4 = 2 ( అకరణీయ సంఖ్య), మరియు  √9 = 3 ( అకరణీయ సంఖ్య) ...

 కరణీయ సంఖ్యల గురించి ఒక చిన్న విషయం: 

క్రింద చూడండి :

• π × π = π² కరణీయ సంఖ్య
• But √2 × √2 = 2 కరణీయ సంఖ్య కాదు 

కనుక కరణీయ సంఖ్య ల లబ్ధం కరణీయ సంఖ్య యే అవాల్సిన పనిలేదు.

వాస్తవ సంఖ్యలను సంఖ్యా రేఖ పై చూపడం:

అకరణీయ సంఖ్యలను సంఖ్య లను సంఖ్యా రేఖ పై చూపగలం:

మరి కరణీయ సంఖ్య లను చూపగలమా ?