అకరణీయ సంఖ్యలు -దశాంశ రూపాలు

అకరణీయ సంఖ్యలు దశాంశ రూపాలు :
ఇప్పటి వరకు మనం ఒక  సంఖ్యను p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలై  q≠0 అవుతూ

 p/q  రూపంలో వ్రాయగలిగితే దానిని అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. అంటే 1/2, 2/3, 4/5 వంటివి. మరి 4, 5, వంటి పూర్ణ సంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలవుతాయా ? నిరభ్యంతరంగా . ఎందువల్ల నంటే 4, 5 లను 4/1 , 5/1 రూపంలో వ్రాయవచ్చు. మరి 1/0 గురించి  మాట్లాడితే , సున్నతో భాగాహారం నిర్వచించ బడలేదు గనుకనే మనం అకరణీయ సంఖ్య నిర్వచనం లో ఈ నిబంధన అంటే  q≠0 అనేది ఉంచ వలసి వచ్చింది. కనుక అన్ని పూర్ణసంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలవుతాయని గుర్తించవచ్చు.
ఇక సాధారణ భాగాహార పద్ధతిని ఉపయోగించి ఒక భిన్నాన్ని దశాంశరూపంలో వ్రాయడంపై మనకు అవగాహన ఉంది. 1/2 ను దశాంశ రూపంలో వ్రాయడానికి లవం అయిన 1 ని హారం అయిన 2 తో భాగిస్తాము. వచ్చిన సమాధానం = 0.5. ఇదే విధంగా మనం ఏ భిన్నాన్నయినా దశాంశ రూపంలో మార్చ వచ్చు. అంటే  p/q  రూపంలో గల ఏ సంఖ్య నైనా మనం ధశాంశ రూపంలో వ్రాయ గలం. అయితే క్రింది ఉదాహరణలను గమనించండి.

1. 1/2 = 0.5
2. 2/3 = 0.6666666. . .
3. 1/4 = 0.25
4. 1/5 = 0.20
5. 1/6 =  0.166666666.....
6. 1/7= 0.142857142857. . . . . . .
7. 1/8 = 0.125
8. 1/9 = 0.111111.. . . . . . .

పై ఉదాహరణల్లో 1, 3,4,8 లలో దశాంశ రూపం అంతం కావడం గమనించ వచ్చు. ఈ ఉదాహరణల్లో హారాలు 2, 4,5 8 లు గా గూడా గుర్తించవచ్చు.  5 మినహా 2, 4, 8 లు 2 యొక్క ఘాతాలు గా గమనించవచ్చు.

ఇక మిగిలినఉదాహరణలు అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశాలుగా గమనించగలం.  వాటి  హారాలు 3, 6, 7, 9 లు.

ఇక్కడ మనం సౌలభ్యంకోసం హారాలుగా 1 నుండి 9 సంఖ్యలను మాత్రమే తీసుకొన్నాము. దీనిని 2 అంకెలు, 3 అంకెలు గల సంఖ్యలు హారాలుగా తీసుకొని చూడవచ్చు. అన్ని సందర్భాలలోను 2 గాని రెండు యొక్క ఘాతం గాని, లేదా 5 కాని 5 యొక్క ఘాతం కాని లేదా 2 , 5 సంఖ్యల ఘాతాల లబ్ధం గాని హారంగా ఉన్న సందర్భంలో దశాంశ రూపాలు అంతమయ్యేవి గాను మిగిలిన ఏ సంఖ్య హారంగా ఉన్నా ఆ దశాంశ రూపం ఆవర్తన దశాంశ రూపంగా ఉన్నట్లు గమనించ వచ్చు.  

దీనిని బట్టి  ఒక ప్రవచనాన్ని ఊహిద్దాం.  2 కాని  2యొక్క ఘాతం మరియు 5 కాని 5 యొక్క ఘాతం కాని లేదా 2,5 ల ఘాతాల లబ్ధం  హారంగా ఉన్నసందర్భంలో మాత్రమే అంతమయ్యే దశాంశాలు గాను మిగిలిన సందర్భాలలో ఆవర్తన దశాంశాలు గాను ఊహించవచ్చు. 

ఇదే సిధ్దాంత పరంగా తెలిపితే :

n,m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q (హారం) యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ రూపం  2ⁿ 5^m   కలిగినటు వంటి అకరణీయ సంఖ్య x= p/q అయిన x యొక్క దశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశం అగును.